Calcular los extremos relativos de una función (sus picos y sus valles) es una tarea habitual en clases de cálculo, en análisis de datos y en cualquier problema de optimización. En este tutorial verás cómo hacerlo directamente en una hoja de Excel, sin salir del programa: escribiendo la función, calculando sus derivadas a mano y dejando que la herramienta Buscar objetivo encuentre los puntos donde la primera derivada vale cero.
Al terminar, sabrás montar una tabla con la función y sus dos derivadas, representar la curva para ver los extremos a simple vista, resolver f'(x)=0 con Buscar objetivo y clasificar cada punto crítico con el signo de la segunda derivada. El ejemplo recorre, paso a paso, la función f(x)=x³−3x, que tiene un máximo y un mínimo relativos. La herramienta Buscar objetivo está disponible en todas las versiones de escritorio de Excel desde 2007 y también en Excel para la web.
Qué es un extremo relativo y para qué te sirve resolverlo en una hoja
Un extremo relativo de una función es un punto donde la curva "deja de subir y empieza a bajar" (máximo relativo) o "deja de bajar y empieza a subir" (mínimo relativo). No tiene por qué ser el valor más alto o más bajo de toda la función: basta con que, mirándolo de cerca, sea un pico o un valle local.
La forma clásica de hallarlos en cálculo es: derivar la función, igualar la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos y mirar el signo de la segunda derivada en cada uno. Si f''(x) es positiva, el punto es un mínimo; si es negativa, es un máximo. En Excel puedes hacer las tres cosas sin salir de la hoja: escribes la función en una columna, su primera derivada en otra y la segunda en una tercera; después usas Buscar objetivo para resolver f'(x)=0 y la función SI para que Excel te diga, por sí solo, si cada punto es un máximo o un mínimo.
Para que el ejemplo sea manejable, vamos a trabajar con f(x)=x³−3x. Esta función tiene derivada f'(x)=3x²−3 y segunda derivada f''(x)=6x. Igualando 3x²−3=0 obtenemos x=−1 y x=1. En x=−1 la segunda derivada vale −6 (negativa), así que ahí hay un máximo; en x=1 la segunda derivada vale 6 (positiva), así que ahí hay un mínimo. Vamos a conseguir que Excel nos dé esos mismos resultados, primero con la tabla y la gráfica y después con la herramienta de cálculo.
Nota sobre el separador: en este tutorial las fórmulas usan punto y coma entre argumentos, el formato habitual de Excel en español. Si tu Excel está configurado con punto decimal (México, Estados Unidos), cámbialos por comas:
=SI(A2>0,"Positivo","Negativo")en lugar de=SI(A2>0;"Positivo";"Negativo").
Las piezas que necesitas en la hoja antes de empezar
Abre un libro nuevo y crea una hoja llamada Función. En la columna A vas a escribir los valores de x; en la B, el valor de f(x) en cada x; en la C, el de la primera derivada; y en la D, el de la segunda derivada. Así tienes, en cuatro columnas paralelas, todo lo que necesitas para entender la curva sin cambiar de sitio.
Empieza por los encabezados: en A1 escribe x, en B1 f(x), en C1 f'(x) y en D1 f''(x). Después, en A2, teclea −2,5 y ve bajando de 0,5 en 0,5 hasta llegar a 2,5: −2,5; −2; −1,5; −1; −0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5. Son once valores, suficientes para que la curva se vea entera y para que la tabla no sea un muro.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | f(x) | f'(x) | f''(x) |
| 2 | −2,5 | |||
| 3 | −2 | |||
| 4 | −1,5 | |||
| 5 | −1 | |||
| 6 | −0,5 | |||
| 7 | 0 | |||
| 8 | 0,5 | |||
| 9 | 1 | |||
| 10 | 1,5 | |||
| 11 | 2 | |||
| 12 | 2,5 |
La función f(x) y sus dos derivadas con fórmulas de Excel
Con la rejilla de x ya montada, llega el momento de escribir las tres funciones. Empieza por f(x)=x³−3x en B2. La fórmula es la traducción literal de la expresión algebraica: el cubo de x, menos tres veces x. En Excel, el cubo se escribe con el acento circunflejo: =A2^3-3*A2.
Para la primera derivada, recuerda que la derivada de x³ es 3x² y la derivada de −3x es −3. La expresión algebraica queda 3x²−3, que en la celda C2 se traduce como =3*A2^2-3. Para la segunda derivada, derivas otra vez: la derivada de 3x² es 6x, y la de −3 es 0. Te queda f''(x)=6x, que en D2 escribes como =6*A2.
=A2^3-3*A2=3*A2^2-3=6*A2Con B2, C2 y D2 ya escritas, selecciona las tres celdas a la vez y arrastra el controlador de relleno hasta la fila 12. Las fórmulas bajan copiadas y Excel ajusta las referencias (A2 pasa a A3, A4, A5…) automáticamente.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x | f(x) | f'(x) | f''(x) |
| 2 | −2,5 | −8,13 | 15,75 | −15 |
| 3 | −2 | −2,00 | 9,00 | −12 |
| 4 | −1,5 | 1,13 | 3,75 | −9 |
| 5 | −1 | 2,00 | 0,00 | −6 |
| 6 | −0,5 | 1,38 | −2,25 | −3 |
| 7 | 0 | 0,00 | −3,00 | 0 |
| 8 | 0,5 | −1,38 | −2,25 | 3 |
| 9 | 1 | −2,00 | 0,00 | 6 |
| 10 | 1,5 | −1,13 | 3,75 | 9 |
| 11 | 2 | 2,00 | 9,00 | 12 |
| 12 | 2,5 | 8,13 | 15,75 | 15 |
Fíjate en la columna C: f'(x) vale 0 en x=−1 y en x=1. Esos son, exactamente, los puntos críticos que después Buscar objetivo te va a confirmar. Y en la columna D, f''(x) es negativa en x=−1 y positiva en x=1, así que la clasificación ya se intuye: el primero es un máximo y el segundo un mínimo.
Cómo representar la función para ver los extremos a simple vista
Antes de dejar que Buscar objetivo haga el trabajo, conviene ver la curva. Una gráfica de dispersión con líneas suaves te enseña dónde está cada pico y cada valle sin tener que mirar números.
Selecciona el rango A1:B12 (incluye el encabezado, porque Excel lo usará como leyenda). Después, en la cinta, sigue la ruta Insertar > Gráficos > Dispersión y elige la opción Dispersión con líneas suaves.
La curva resultante pasa por (x=−1, f(x)=2) en su parte más alta y por (x=1, f(x)=−2) en su parte más baja. Entre ambos, una joroba. Esos dos puntos son, exactamente, los extremos relativos de la función.
Hallar los puntos críticos donde la primera derivada vale cero
La gráfica te ha confirmado que los extremos están cerca de x=−1 y x=1, pero "cerca" no es "exactamente". Para afinar, vas a usar Buscar objetivo, una herramienta que resuelve ecuaciones de una sola incógnita probando valores hasta dar con el que cumple la condición. La ecuación que te interesa es f'(x)=0; la incógnita es x.
Trabaja sobre una fila nueva, en E2 hacia abajo, para no ensuciar la tabla principal. En E2 vas a apuntar el valor de x que Buscar objetivo te devuelva; en F2, el valor que toma f'(x) en ese x; y en G2, el tipo de extremo que es. Empieza dejando E2 con un valor inicial razonable: en F1 podrías escribir Punto crítico 1 y en E1 dejar E2 libre, pero a Buscar objetivo le viene mejor que le des una pista.
Para el primer punto, escribe en E2 el valor −1 (es donde, según la tabla, f'(x) ya vale 0). En F2 escribe la fórmula de la primera derivada evaluada en E2: =3*E2^2-3. En G2, de momento, déjala vacía. Cuando ejecutes Buscar objetivo sobre F2, le vas a pedir que la celda valga 0 cambiando el valor de E2; el resultado será el x exacto del primer punto crítico.
| E | F | G | |
|---|---|---|---|
| 1 | x* | f'(x*) | Tipo |
| 2 | −1 | 0,00 | |
| 3 | 1 | 0,00 |
Buscar objetivo en una celda cambiando otra
Ahora, con F2 seleccionada, abre la herramienta: en la cinta, Datos > Previsión > Buscar objetivo. Se abre un cuadro de diálogo con tres campos.
Pulsa Aceptar. Excel prueba valores de E2 hasta que F2 queda en 0 (o lo más cerca de 0 que pueda). Verás un mensaje confirmando que encontró una solución; acepta y mira E2: ahí tienes el primer punto crítico, x=−1. Repite lo mismo con E3 y F3 (la misma fórmula, pero apuntando a E3) para obtener el segundo: x=1.
Refinar el resultado con una tabla de valores alrededor del cero
Para confirmar visualmente que esos son los ceros, monta una tabla más fina en otra zona de la hoja: x de −2 a 2 en pasos de 0,1, y f'(x) calculada a su lado. Los puntos donde la columna de f'(x) cruza la línea del 0 son los ceros.
Crea una zona nueva con encabezados en I1 (x) y J1 (f'(x)). En I2 escribe −2; en I3, la fórmula =I2+0,1; arrastra hasta I42 para tener x de −2 a 2,1. En J2 escribe =3*I2^2-3 y arrastra hasta J42. Verás la columna J pasando de positivo (x=−2) a cero (x=−1), a negativo (centro) y volviendo a cero (x=1) y a positivo (x=2).
| I | J | |
|---|---|---|
| 1 | x | f'(x) |
| 2 | −2,0 | 9,00 |
| 3 | −1,9 | 7,83 |
| 4 | −1,8 | 6,72 |
| 5 | −1,7 | 5,67 |
| 6 | −1,6 | 4,68 |
| 7 | −1,5 | 3,75 |
| 8 | −1,4 | 2,88 |
| 9 | −1,3 | 2,07 |
| 10 | −1,2 | 1,32 |
| 11 | −1,1 | 0,63 |
| 12 | −1,0 | 0,00 |
La tabla más fina no cambia los ceros, pero te asegura que no hay un cero escondido entre dos filas de la tabla grande.
Clasificar cada punto crítico con la segunda derivada
Ya tienes los puntos críticos exactos. Falta saber si cada uno es un máximo o un mínimo. La regla es la segunda derivada: si f''(x) es positiva en el punto, la curva está curvada hacia arriba y es un mínimo; si es negativa, está curvada hacia abajo y es un máximo. Como f''(x)=6x, en x=−1 vale −6 (negativa, máximo) y en x=1 vale 6 (positiva, mínimo). Vamos a dejar que Excel lo deduzca solo con una función SI.
En la columna G, al lado de los puntos críticos, escribe la fórmula que evalúa la segunda derivada en el x de la columna E y clasifica el resultado. La función SI, en inglés IF, recibe una condición y dos respuestas: si se cumple, devuelve la primera; si no, la segunda.
=SI(6*E2>0;"Mínimo";"Máximo")Al copiarla hacia abajo, en G2 debe leerse "Máximo" y en G3, "Mínimo". Si en tu Excel sale al revés, intercambia las dos respuestas de la función SI.
La fórmula que clasifica el extremo por ti
Para que la hoja sea más completa, añade también el valor de f(x) en cada punto crítico. En H2 escribe =E2^3-3*E2 (la función original evaluada en el x encontrado por Buscar objetivo) y arrastra hacia abajo. Con esto tienes, en cuatro columnas, todo el resumen: el x del punto crítico, su f'(x) (que es 0), el tipo de extremo y el valor de f(x) en ese punto.
| E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x* | f'(x*) | Tipo | f(x*) |
| 2 | −1,0000 | 0,00 | Máximo | 2,00 |
| 3 | 1,0000 | 0,00 | Mínimo | −2,00 |
Si los rótulos y los valores coinciden con los de la tabla grande (x=−1, f(x)=2, máximo; x=1, f(x)=−2, mínimo), la clasificación es correcta.
>0 a <0 y vuelve a mirar.Por qué el resultado no coincide con la gráfica
Cuando el resultado no encaja con lo que esperabas, casi siempre se debe a una de tres cosas: redondeo al copiar, un error de signo en la segunda derivada o referencias que no se fijaron con dólares cuando tocaba. Aquí tienes los tres tropiezos típicos y cómo arreglarlos.
La segunda derivada sale con el signo cambiado. Es el error más común al derivar "a mano" dentro de Excel. Si f(x)=x³−3x, su segunda derivada es 6x (positiva para x>0). Si escribiste =6*A2*-1 o =6*(-A2) por descuido, todos los signos se invierten y la clasificación sale al revés: lo que es mínimo parece máximo y viceversa. Vuelve a la celda D2, comprueba la fórmula, córrigela y vuelve a arrastrar.
Buscar objetivo devuelve un número raro, lejos de donde debería estar. Esto pasa cuando el valor inicial que pusiste en E2 está demasiado lejos del cero real, o cuando la función tiene más de un cero en el intervalo y la herramienta converge a uno que no esperabas. En la función de este ejemplo, f'(x)=3x²−3 vale 0 en x=−1 y en x=1, así que hay dos ceros. Si partes de E2=−1, Buscar objetivo cae en x=−1; si partes de E2=1, cae en x=1. Si partes de E2=0, puede oscilar y no decidir. La solución es dar un valor inicial próximo al cero que te interesa, y resolver cada cero por separado en su propia fila.
Las celdas se desplazan al arrastrar y la fórmula apunta al sitio equivocado. Cuando copias una fórmula hacia abajo con el controlador de relleno, las referencias se ajustan una fila. Si necesitas que alguna referencia se quede quieta (por ejemplo, una constante o el rango de la tabla), fíjala con dólares: =$A$2. En este tutorial todas las fórmulas usan referencias relativas a la celda de la misma fila, así que no hace falta fijar nada; pero si más adelante combinas este análisis con una constante (un precio, un coeficiente), recuerda pulsar F4 después de escribir la referencia para fijarla. En Mac, la combinación es Cmd+T.
Buscar objetivo no converge y se queda en un número raro
Cuando Buscar objetivo te devuelve un valor que no es exactamente cero, o te avisa de que no encontró solución, el problema casi siempre es el valor inicial. Los pasos para salir del atasco son:
- Mira en la tabla grande (columnas A a D) en qué filas f'(x) cambia de signo: esos son los sitios donde hay un cero entre medias.
- Escribe en E2 (o en E3, según el cero que busques) un valor de x próximo al cero que sospechas, por ejemplo −0,9 si buscas el cero cercano a −1.
- Lanza Buscar objetivo otra vez, con F2 valiendo 0 y E2 como celda a cambiar.
- Si la herramienta no converge, prueba a alejar el valor inicial: a veces Excel necesita un empujón para "ver" la forma de la curva.
- Si tu función tiene tres o más ceros en el mismo tramo (por ejemplo, una función con varios máximos y mínimos seguidos), añade una fila por cero y repite el proceso para cada uno, partiendo de un valor inicial distinto cada vez.
Lo que ya sabes hacer con extremos relativos en Excel
- Construir una tabla con la función, su primera derivada y su segunda derivada, todas a partir de una columna de x.
- Representar la función con un gráfico de dispersión con líneas suaves para localizar los extremos a simple vista.
- Encontrar los puntos críticos usando Buscar objetivo sobre la columna de la primera derivada, con un valor inicial razonable.
- Clasificar cada punto crítico con la función SI, mirando el signo de la segunda derivada.
El siguiente paso, si la función es más complicada (trigonométrica, con exponenciales, con varios parámetros), es usar Solver en lugar de Buscar objetivo: Solver trabaja con varias variables y admite restricciones, y se carga desde Archivo > Opciones > Complementos > Solver.