Función cuadrática negativa en Excel: cómo graficarla

Una función cuadrática negativa es una parábola f(x)=ax²+bx+c cuyo coeficiente a es menor que cero, así que en lugar de tener un valle tiene una cima: sube, llega a un punto más alto (el vértice) y luego baja. En la vida real aparece cuando algo crece y después decae: el beneficio de un producto al empezar a venderse mucho y saturarse, o la altura de un balón que sube y vuelve a caer. En este tutorial la vas a llevar a una hoja de Excel, la dibujas con un gráfico de dispersión, calculas su vértice y sus ceros con fórmulas y la conviertes en un simulador con tres barras de desplazamiento que mueven a, b y c en directo. Funciona en Microsoft 365, Excel 2024, 2021, 2019 y 2016; en Excel para la web y en Excel para Mac los pasos son los mismos, con Cmd donde aquí se lee Ctrl.

Qué es una función cuadrática negativa y para qué te ayuda verla en una hoja

Una parábola es la curva que dibuja cualquier expresión del tipo f(x)=ax²+bx+c. Si a es positivo, la curva tiene forma de U, abre hacia arriba y tiene un mínimo; si a es negativo, la forma se invierte, abre hacia abajo y tiene un máximo. Por eso se llama función cuadrática negativa: el signo de a decide que la parábola «mire al suelo».

Verla en una hoja te ayuda a entender tres cosas que de memoria se escapan. Primero, dónde está el vértice, el punto donde la curva cambia de subir a bajar (o de bajar a subir): ahí está el valor más alto de la función. Segundo, dónde corta el eje X, los puntos donde la curva pasa por altura cero, las llamadas raíces o ceros. Tercero, cómo se deforma la curva cuando tocas los números: si haces a más negativo, la parábola se cierra y se hace más alta; si lo acercas a cero, se abre y se aplasta.

Piensa en el beneficio de un producto recién lanzado. Al principio vende poco y la ganancia es baja; conforme se conoce, las ventas suben y el beneficio crece hasta un tope; después el mercado se satura y el beneficio baja. La gráfica de ese beneficio a lo largo de los meses tiene forma de U invertida, y el mes del pico es el vértice.

Las tres formas de escribir la misma parábola

Una misma parábola se puede escribir de tres maneras y cada una destaca una pieza distinta. La forma general f(x)=ax²+bx+c es la que sale de desarrollar las otras y la que usa Excel por defecto. La forma de vértice f(x)=a(x−h)²+k lleva dentro el vértice: está en (h, k). La forma factorizada f(x)=a(x−x₁)(x−x₂) lleva dentro las raíces: son x₁ y x₂, los puntos donde la parábola corta el eje X.

Con la parábola del beneficio, f(x)=−0,5x²+3x+1 en forma general, las otras dos son f(x)=−0,5(x−3)²+5,5 (vértice en (3; 5,5)) y f(x)=−0,5(x−6,45)(x+0,45) (raíces aproximadas). Las tres dibujan exactamente la misma curva.

Los coeficientes a, b y c: qué cuenta cada uno

Los tres números que encabezan la fórmula mandan sobre la forma de la curva. a es el que decide si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo y, además, lo «apretada» que está. b desplaza la curva de izquierda a derecha sin cambiar su anchura. c es la altura a la que la curva cruza el eje Y, lo que ves en la pantalla cuando x=0.

Con esos tres números, el vértice cae en x=−b/(2a)=−3/(2·(−0,5))=3, y su altura se calcula sustituyendo: f(3)=−0,5·9+3·3+1=5,5. La curva pasa por (0; 1) y su punto más alto está en (3; 5,5).

Las piezas de la parábola: vértice, eje, ceros e intersección con y

Toda parábola tiene cuatro piezas clave y se calculan con fórmulas cortas. El vértice es el punto más alto (en este caso, porque a<0) y se calcula con x=−b/(2a); su altura es f(−b/(2a)), sustituyendo esa x en la fórmula. El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice: x=−b/(2a). Los ceros o raíces son los dos puntos donde la curva toca el eje X y se obtienen con la fórmula cuadrática x=(−b±√(b²−4ac))/(2a). La intersección con el eje Y es el punto (0; c), porque al hacer x=0 todo lo que lleva x se anula y queda c.

Monta la tabla de valores para empezar

Empezamos con la hoja de seguimiento de un beneficio mensual ficticio: cada fila es un valor de x (meses desde el lanzamiento) y la columna B calcula f(x). Crea un libro nuevo y, en la Hoja1, pon los coeficientes arriba, los valores de x a la izquierda y la fórmula a la derecha.

1. En B1 escribe −0,5 (este es a); en B2 escribe 3 (b); en B3 escribe 1 (c). En A1 pon la etiqueta a, en A2 la etiqueta b y en A3 la etiqueta c para saber qué número es cada uno.
2. En A5 escribe el encabezado x y en B5 el encabezado f(x). En A6 escribe −4 y en A7 escribe −3. Selecciona A6:A7, agarra el controlador de relleno (el cuadradito de la esquina inferior derecha de la selección) y arrastra hacia abajo hasta A15 para que la serie continúe de uno en uno hasta 5.
3. Haz clic en B6 y escribe la fórmula =$B$1*A6^2+$B$2*A6+$B$3. Las referencias a B1, B2 y B3 son absolutas (llevan $) para que al arrastrar no se muevan y apunten siempre a los coeficientes.
4. Pulsa Entrar, vuelve a seleccionar B6 y arrastra el controlador de relleno hasta B15. Verás los valores calculados para cada x.
5. Cambia el valor de B1 de −0,5 a 0,5 (positivo). Toda la columna B se recalcula y la parábola pasa a abrir hacia abajo con un valle en lugar de una cima. Vuélvelo a dejar en −0,5 para seguir.

Dibuja la parábola con un gráfico de dispersión

La tabla ya está, pero verla en números no es lo mismo que verla dibujada. Vamos a convertir las dos columnas en una curva.

1. Selecciona el rango A6:B15.
2. Ve a la cinta y elige la ruta de insertar un gráfico de dispersión.

1. En el menú que se abre, elige Dispersión con líneas suavizadas (es la primera opción de la fila superior de iconos). Aparece un gráfico en la hoja con la parábola y los puntos de cada valor.
2. Ahora cambia B1 a 0,5. La curva se da la vuelta: pasa a tener un mínimo en vez de un máximo. Vuélvelo a poner en −0,5.

Etiquetas y eje vertical: que se lea el vértice y el máximo

Para que la gráfica se lea sola, le ponemos título, nombres a los ejes y una etiqueta clavada en el vértice.

1. Haz clic en el gráfico para seleccionarlo y ve a la cinta del gráfico: Diseño del gráfico > Diseños de gráfico > Diseño 1 (es el que lleva título arriba y ejes etiquetados).
2. Haz clic en el Título del gráfico y escribe Beneficio mensual (parábola con a<0).
3. Selecciona el eje horizontal, pulsa Supr y vuélvelo a crear: ve a Diseño del gráfico > Ejes > Eje horizontal principal > Título bajo el eje y escribe Meses desde el lanzamiento.
4. Haz lo mismo con el eje vertical: Diseño del gráfico > Ejes > Eje vertical principal > Título girado a la izquierda y escribe Beneficio.
5. Selecciona el punto del vértice (el de x=3). En la cinta, abre Diseño del gráfico > Etiquetas de datos > Superior para que la cifra 5,50 quede justo encima del pico.
6. Para que la etiqueta no se mueva al cambiar los coeficientes, cópiala a mano: en la celda D1 escribe Vértice (x, y) y en E1 y F1 las fórmulas que calculan esos números; las verás en la siguiente sección.

Halla el vértice y los ceros con fórmulas en la hoja

Ahora que la curva está dibujada, vamos a calcular sus puntos clave con fórmulas para que cambien solas cuando toques los coeficientes.

1. En D1 escribe Vértice (x, y); en E1 escribe x_v y en F1 escribe y_v.
2. En E2 escribe la fórmula del vértice en x: =−B2/(2*B1). Como B1 vale −0,5 y B2 vale 3, el resultado es 3.
3. En F2 escribe la fórmula de la altura del vértice, sustituyendo E2 en la parábola: =$B$1*E2^2+$B$2*E2+$B$3. El resultado es 5,5.
4. En D4 escribe Ceros; en E4 escribe Raíz 1 y en F4 escribe Raíz 2.
5. En E5 escribe la fórmula de la primera raíz con la fórmula cuadrática: =(−B2+RAIZ(B2^2−4*B1*B3))/(2*B1). RAIZ es la función RAIZ en español, equivalente a SQRT en inglés.
6. En F5 escribe la misma fórmula con el signo menos delante de RAIZ: =(−B2−RAIZ(B2^2−4*B1*B3))/(2*B1).
7. En D7 escribe Corte con Y y en E7 la fórmula =B3 (que es el valor de c).

=−B2/(2*B1)
=$B$1*E2^2+$B$2*E2+$B$3
=(−B2+RAIZ(B2^2−4*B1*B3))/(2*B1)
=(−B2−RAIZ(B2^2−4*B1*B3))/(2*B1)
=B3

Hazlo interactivo con controles de formulario para a, b y c

La tabla y la gráfica se recalculan solas, pero tocar los coeficientes a mano es aburrido. Vamos a poner una barra de desplazamiento para cada uno, así la curva se deforma en vivo al arrastrar.

1. Si la pestaña Programador no se ve, actívala en Archivo > Opciones > Personalizar cinta de opciones y marca la casilla Programador en la columna derecha.
2. En la cinta, abre el menú de controles de formulario.

1. En la lista que se abre, debajo del todo (iconos con forma de barra), elige Barra de desplazamiento.
2. Dibuja tres barras en la hoja, una al lado de B1 (para a), otra al lado de B2 (para b) y otra al lado de B3 (para c). Sitúa el cursor con un clic en una zona vacía y arrastra para dibujar la barra.
3. Haz clic con el botón derecho sobre la primera barra y elige Formato de control. En el cuadro de diálogo, rellena: valor mínimo −3, valor máximo 3, incremento 0,1, Vincular con la celda B1. Pulsa Aceptar.
4. Repite con las otras dos: la segunda barra, mínimo −10, máximo 10, incremento 0,5, vinculada a B2; la tercera, mínimo −10, máximo 10, incremento 0,5, vinculada a B3.
5. Vuelve a la hoja y arrastra las tres barras. La columna B se recalcula, los valores calculados arriba cambian y la curva se redibuja en el momento.

Errores que aparecen al cambiar los coeficientes

Al jugar con los controles, te van a saltar tres errores típicos y conviene saber de dónde vienen y cómo arreglarlos.

#¡DIV/0! al dejar a en cero. Si arrastras la barra de a hasta 0, las fórmulas del vértice y de las raíces dividen entre 2*a y devuelven #¡DIV/0!. La causa: una parábola con a=0 deja de ser parábola y se convierte en una recta. El arreglo más limpio es rodear las fórmulas con SI.ERROR: =SI.ERROR(−B2/(2*B1);"No es parábola").

#¡NUM! en las raíces cuando la curva no toca el eje X. Si b²−4ac<0 (por ejemplo, con a=−0,5; b=1; c=4), RAIZ intenta calcular la raíz cuadrada de un número negativo y devuelve #¡NUM!. La causa: no hay puntos donde f(x)=0, así que la curva queda entera por encima del eje X. El arreglo es envolver las raíces con SI.ERROR o usar RAIZ2(B2^2−4*B1*B3) solo cuando el discriminante sea positivo.

La gráfica desaparece al dejar celdas vacías. Si borras o vacías la columna B, el gráfico deja de tener datos y se queda en blanco. La causa: Excel no sabe qué dibujar cuando las celdas están vacías. El arreglo es volver a escribir la fórmula en B6 y arrastrarla hasta B15, o copiar el rango con Ctrl+C y pegarlo con Ctrl+Alt+V > Valores si solo quieres los números.

Lo que ya sabes hacer con la función cuadrática negativa

Con esta hoja tienes un simulador de parábolas que se actualiza al mover los controles. Lo que ya sabes hacer:

• Construir una tabla de valores con la fórmula =$B$1*A2^2+$B$2*A2+$B$3 y referencias absolutas para los coeficientes.
• Dibujar la curva con Insertar > Gráficos > Dispersión > Dispersión con líneas suavizadas y entender por qué cambia al cambiar el signo de a.
• Calcular el vértice, los ceros y el corte con Y con −B2/(2*B1), la fórmula cuadrática con RAIZ y el valor de B3.
• Simular cómo se deforma la parábola al mover a, b y c con barras de desplazamiento de formulario.

El siguiente paso es añadir al gráfico una recta tangente en el vértice, que es la línea horizontal que toca la curva justo en su pico. En C6 escribe la fórmula =$F$2+$B$1*2*E2*(A6−E2) y cópiala hasta C15; en la fórmula, F2 es la altura del vértice, E2 su x, y B1*2*E2 es la derivada f'(x)=2ax+b evaluada en el vértice. Cambia la serie de la tabla a un nuevo color en el gráfico y verás cómo la recta se apoya en la cima de la parábola y se inclina al mover a o b.

Dudas al usar la función cuadrática negativa en Excel