Coseno en Excel: cómo usar la función COS con ejemplos

Cuando alguien busca "ejercicios de coseno" suele querer practicar trigonometría en un libro de cálculo, ya sea para resolver un problema de triángulos o para entender qué hace la función COS de Excel. Aquí se toma ese sentido: ejercicios prácticos que muestran cómo calcular el coseno de un ángulo, cómo sacar un ángulo a partir de su coseno y cómo aplicar la ley de cosenos para encontrar el lado que falta en un triángulo no rectángulo. Al terminar, el lector sabrá escribir =COS, =ACOS y la fórmula de la ley de cosenos en una hoja, y obtendrá los mismos números que ve en clase. Todo funciona desde Excel 2007 en adelante, salvo COT e IM.COSH, que existen desde Excel 2013.

Qué es el coseno y por qué se calcula con Excel

El coseno de un ángulo mide cuánto se parece ese ángulo a un ángulo de 0 grados. Cuando el ángulo es pequeño, su coseno se acerca a 1; cuando crece, el coseno se hace más pequeño, hasta llegar a 0 a los 90 grados. Excel no entiende de triángulos, sí de números: la función =COS() espera un ángulo en radianes y devuelve ese cociente.

Para practicar, nada mejor que un problema clásico: un técnico de mantenimiento sabe que un poste mide 20 metros y que la sombra que proyecta forma un ángulo de 30 grados con el suelo. Para hallar la longitud de la sombra, basta con multiplicar la altura del poste por la cotangente del ángulo. Y para otros problemas de triángulos donde no hay ángulo recto, se usa la ley de cosenos, que generaliza el teorema de Pitágoras.

El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo se define como el cociente entre el cateto contiguo a ese ángulo y la hipotenusa:

=COS(α) = cateto contiguo / hipotenusa

Si el poste mide 6 metros y la sombra mide 20 metros, el ángulo que forma la sombra con el suelo tiene un coseno de 6/20 = 0,3, y el ángulo vale unos 72,54 grados.

La ley de cosenos para triángulos no rectángulos

Cuando el triángulo no es rectángulo, no se puede hablar de cateto contiguo. La ley de cosenos generaliza el teorema de Pitágoras y relaciona los tres lados con uno de sus ángulos:

=a² = b² + c² − 2·b·c·cos(A)

Si se conocen los tres lados, se despeja el ángulo con =ACOS(). Si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, se despeja el tercer lado elevando a la raíz cuadrada. En ambos casos la fórmula es la misma, solo cambia qué se aísla.

Las funciones de Excel que necesitas para coseno

Excel trae siete funciones relacionadas con el coseno. Las más usadas son COS y ACOS; las demás cubren necesidades específicas.

COS y ACOS: el coseno y el arcocoseno

=COS(número) espera el ángulo en radianes y devuelve su coseno, un valor entre -1 y 1. =ACOS(número) hace lo contrario: recibe un valor entre -1 y 1 y devuelve el ángulo cuyo coseno es ese valor, también en radianes. Para trabajar en grados se combinan con =GRADOS() o se multiplica por PI()/180.

COSH, ACOSH y COT: las variantes hiperbólicas

=COSH(x) y =ACOSH(x) sirven para cosenos hiperbólicos, que aparecen en problemas de cadenas y muelles. =COT(x) da la cotangente, que es 1 dividido por la tangente. COT existe desde Excel 2013.

Convertir entre grados y radianes antes de calcular

Excel trabaja en radianes, pero los ángulos de un transportador están en grados. Convertir mal está bien: es la causa número uno de resultados raros. En esta práctica se prepara una hoja con cuatro ángulos clásicos (0°, 30°, 60° y 90°) y se calcula su coseno.

Pasos:

1. Abre un libro nuevo y escribe los encabezados Ángulo (°) en A1 y Coseno en B1.
2. En A2:A5 escribe 0, 30, 60 y 90.
3. En B2 escribe =COS(A2*PI()/180) y copia hasta B5 con el controlador de relleno.
4. En C1 escribe Volver a grados. En C2 escribe =GRADOS(ACOS(B2)) y copia hasta C5.

Multiplicar por PI()/180 a mano

La fórmula =COS(A2*PI()/180) convierte el ángulo de grados a radianes justo antes de calcular. Es lo que pasa por dentro =RADIANES(): multiplicar por π/180.

=COS(A2*PI()/180)

Usar GRADOS y RADIANES para no equivocarse

=RADIANES() y =GRADOS() hacen la conversión con nombre, lo que se lee mejor en fórmulas largas. La pareja limpia es =COS(RADIANES(A2)) para ir y =GRADOS(ACOS(B2)) para volver.

=COS(RADIANES(A2))
=GRADOS(ACOS(B2))

Resolver un triángulo rectángulo con COS

Ahora se aplica COS a un caso concreto: en un triángulo rectángulo, el cateto contiguo mide 6 y la hipotenusa mide 10. Se quiere saber qué ángulo forma el cateto con la hipotenusa.

Pasos:

1. En una hoja nueva, escribe Cateto contiguo en A1, Hipotenusa en A2, Coseno en A3 y Ángulo (°) en A4.
2. En B1 escribe 6 y en B2 escribe 10.
3. En B3 escribe =B1/B2.
4. En B4 escribe =GRADOS(ACOS(B3)).

Aplicar la ley de cosenos para hallar un lado

Cuando el triángulo no es rectángulo, la ley de cosenos relaciona los tres lados con el ángulo opuesto a uno de ellos. Aquí se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, y se busca el tercer lado.

Pasos:

1. Escribe b en A2, c en A3, Ángulo A (°) en A4 y Lado a en A5.
2. En B2 escribe 8, en B3 escribe 11 y en B4 escribe 45.
3. En B5 escribe =B2^2+B3^2-2*B2*B3*COS(RADIANES(B4)). Esta celda contiene a².
4. En B6 escribe =RAIZ(B5) para obtener a.

Hallar el lado sin RAIZ, elevando después

Si se quiere ver el resultado por partes, se deja a² en una celda y se aplica RAIZ aparte. Esto ayuda a entender de dónde sale cada cifra.

=B2^2+B3^2-2*B2*B3*COS(RADIANES(B4))

Hallar el lado cuando se conocen los tres lados

Si se conocen los tres lados y se quiere el ángulo, se despeja de la misma ecuación. En este caso se conoce a, b y c:

=GRADOS(ACOS((B3^2+B4^2-B2^2)/(2*B3*B4)))

Hallar un ángulo con la ley de cosenos y ACOS

Con la misma fórmula se hace el camino inverso: a partir de los tres lados, se obtiene el ángulo opuesto a uno de ellos. Se toma el triángulo del ejemplo anterior y se verifica que el ángulo A es 45 grados.

Pasos:

1. Escribe a en A2, b en A3, c en A4 y Ángulo A (°) en A5.
2. En B2 escribe 7,79, en B3 escribe 8 y en B4 escribe 11.
3. En B5 escribe =GRADOS(ACOS((B3^2+B4^2-B2^2)/(2*B3*B4))).

Por qué la fórmula da #¡VALOR! o un número raro

Tres errores típicos al trabajar con coseno en Excel, todos con solución rápida.

El ángulo está en grados y se pasa tal cual a COS

Si se escribe =COS(45), Excel interpreta 45 como 45 radianes, no como 45 grados. El resultado es 0,525, no 0,707. La solución es envolver el valor en =RADIANES() o multiplicar por PI()/180.

La celda del ángulo está vacía o en texto

Si la celda que contiene el ángulo está vacía o tiene un texto, multiplicar por un número da #¡VALOR!. Antes de aplicar la trigonometría, conviene revisar con =ESNUMERO() y limpiar espacios con =ESPACIOS().

ACOS recibe un número fuera de [-1, 1]

Por redondeos, el resultado de un cociente puede quedar en 1,0000001, fuera del dominio de ACOS, que devuelve #¡NUM!. Se envuelve el argumento en =MIN(1;MAX(-1;…)) para acotarlo.

Lo que ya sabes hacer con coseno en Excel

• Calcular el coseno directo de un ángulo con =COS(), multiplicando por PI()/180 o con =RADIANES().
• Hallar el ángulo a partir de su coseno con =GRADOS(ACOS()).
• Convertir entre grados y radianes con =GRADOS(), =RADIANES() y PI().
• Aplicar la ley de cosenos en una sola fórmula para sacar el lado o el ángulo que falta.

El siguiente paso es montar una mini-hoja de cálculo con lados y ángulos de varios triángulos y resolverlos en bloque, arrastrando las fórmulas con el controlador de relleno.