Regla de integrales en Excel: cómo calcularla con un ejemplo

Hay integrales que no tienen una primitiva conocida —por ejemplo, la de e^(x²) entre 0 y 1— y que Excel no resuelve de manera simbólica. Lo que sí puede hacer es aproximar el área bajo la curva dividiendo el intervalo en trozos pequeños y calculando el área de cada uno como si fuera un trapecio. A eso se le llama regla del trapecio (o regla trapezoidal), y con una hoja de cálculo y cuatro fórmulas se monta en pocos minutos.

Al terminar este tutorial vas a saber escribir en una columna los nodos del intervalo y la función que quieres integrar, calcular el área con SUMA y con SUMAPRODUCTO, ver cómo converge el resultado al subir el número de trapecios y entender cuándo conviene saltar a la regla de Simpson. Sirve para cualquier versión de Excel de escritorio desde 2007, para Excel para la web y para Excel para Mac; las dos funciones que usamos (SUMA y SUMAPRODUCTO) están en todas ellas.

Qué calcula la regla del trapecio y cuándo te saca de apuros

Imagina que quieres el área bajo la curva de f(x) = e^(x²) entre 0 y 1. La integral exacta ∫₀¹ e^(x²) dx vale 1,46265174…, pero la función no tiene una expresión elemental para su primitiva, así que no hay manera de escribir =INTEGRAL(...) y obtener el valor.

La regla del trapecio resuelve esto de forma numérica: divide el intervalo [0, 1] en trozos pequeños (por ejemplo, de ancho 0,1), evalúa f(x) en cada punto de división, une los puntos con una imagen continua y calcula el área de cada trapecio (un cuadrilátero con dos lados paralelos: la base y el techo curvo aproximado por una recta). La suma de todas esas áreas se acerca al área real bajo la curva. Cuantos más trapecios uses, mejor es la aproximación, aunque más tarda en calcular.

En una hoja de Excel esto se traduce a tres columnas muy claras: los nodos (los x donde se evalúa la función), los valores de f(x) en esos nodos y una fórmula final que combina esos valores con sus pesos. La hoja que vamos a construir a lo largo del artículo calcula ∫₀¹ e^(x²) dx con la regla del trapecio y termina con el valor aproximado 1,46265.

La fórmula del trapecio y sus argumentos uno a uno

La fórmula de la regla del trapecio compuesta es:

T = (h/2) · (y₀ + 2·y₁ + 2·y₂ + … + 2·y_(n-1) + y_n)

Cada elemento tiene un papel concreto:

• n es el número de subintervalos en los que divides el tramo. En nuestro ejemplo, n = 10 porque partimos [0, 1] en 10 trozos de 0,1.
• h es el paso, el ancho de cada subintervalo: h = (b − a) / n. Con a = 0, b = 1 y n = 10, h = 0,1.
• yᵢ es el valor de la función en el nodo i-ésimo. y₀ = f(0), y₁ = f(0,1), y₂ = f(0,2), …, y₁₀ = f(1).
• Pesos 1, 2, 2, …, 2, 1: los dos extremos del intervalo (el primero y el último) cuentan una sola vez, mientras que los puntos interiores cuentan el doble. Esto refleja que cada nodo interior es el final de un trapecio y el inicio del siguiente, así que aparece dos veces en la suma.

Si la fórmula te parece abstracta, piensa en el caso n = 2 (dos trapecios): T = (h/2)·(y₀ + 2·y₁ + y₂). Eso es exactamente el área del trapecio de vértices (0, y₀), (0,5, y₁) y (1, y₂) dividida en dos mitades iguales, cada una con base h y altura el valor correspondiente.

Cómo se escribe la función f(t) en una columna de la hoja

Empezamos con la hoja en blanco. Vamos a crear una columna A con los 11 valores de t de 0 a 1 cada 0,1, y una columna B con f(t) = e^(t²). Como la función no se puede integrar a mano, este es el caso típico donde la regla del trapecio te saca del apuro.

1. En la celda A1 escribe Nodos (t) y en B1 escribe f(t) = e^(t²).
2. En A2 escribe 0 (el extremo izquierdo del intervalo).
3. En A3 escribe =A2+0,1 y arrastra el controlador de relleno (el cuadradito de la esquina inferior derecha de la celda) hasta A12.
4. En B2 escribe =EXP(A2^2). La función EXP está en todas las versiones de Excel y calcula e elevado a su argumento.
5. Arrastra B2 hacia abajo hasta B12 con el controlador de relleno.

La fórmula de los nodos escrita a mano

La forma más rápida de tener los nodos es escribir el primero a mano (0) y los siguientes con =A2+0,1 arrastrando. Es lo que acabamos de hacer en los pasos anteriores y tiene una ventaja clara: h queda «escrito» dentro de la propia fórmula, así que si alguna vez quieres ver cuánto vale, lo lees directamente en A3.

La limitación es evidente: si quieres cambiar h, tienes que entrar en A3 y tocar el 0,1. Para eso sirve la siguiente variante.

Los nodos calculados con una fórmula para cambiar h sin tocar nada

Si vas a experimentar cambiando el número de trapecios, te conviene tener h y n en dos celdas separadas y que los nodos se calculen solos. Así solo tocas dos números y toda la tabla se rehace.

1. En E1 escribe h y en E2 escribe n.
2. En F1 escribe 0,1 (el valor de h) y en F2 escribe 10 (el número de intervalos).
3. En A2 escribe 0. En A3 escribe =A2+$F$1. La referencia $F$1 se queda fija al arrastrar.
4. Arrastra A3 hasta A12 con el controlador de relleno.

=A2+$F$1

Si cambias F1 a 0,05 o F2 a 20, los nodos y los valores de f(t) se recalculan solos.

La suma del trapecio con SUMA, SUMAPRODUCTO y un solo coeficiente

Ahora viene la fórmula del área. Como los extremos cuentan 1 vez y los interiores cuentan 2, lo más limpio es calcular por separado las dos sumas y combinarlas.

1. En D1 escribe Suma puntos interiores.
2. En D2 escribe =SUMA(B3:B11).
3. En D3 escribe =B2+B12 (suma de los extremos).
4. En D4 escribe Área (trapecio) y en D5 la fórmula final: =D3/2+$F$1*D2.

=SUMA(B3:B11)
=B2+B12
=D3/2+$F$1*D2

El resultado, 1,46265, está muy cerca del valor real 1,46265174…. La diferencia (en la sexta cifra decimal) es el error de truncamiento del método.

Una sola fórmula que hace todo de golpe

Si prefieres tenerlo concentrado en una celda, la misma cuenta cabe en una línea, fácil de mantener y de revisar.

=$F$1/2*(B2+B12+2*SUMA(B3:B11))

Esta es la versión que verás en casi todos los libros de cálculo numérico: el ancho h dividido por 2, los dos extremos sumados una vez y la suma de los puntos interiores multiplicada por 2.

La versión con SUMAPRODUCTO para pesos desiguales

Hay una manera más elegante de escribir la fórmula usando SUMAPRODUCTO (en inglés, SUMPRODUCT), que existe desde Excel 2007. La idea: crear un vector de pesos (1 para los extremos, 2 para los interiores) y multiplicarlo por los valores de f(t).

SUMAPRODUCTO multiplica dos rangos elemento a elemento y suma los resultados. Para los pesos, podemos usar la fórmula:

=SUMAPRODUCTO(B2:B12;1+SIGNO(COLUMNA(B2:B12)-1))

Aquí, COLUMNA(B2:B12)-1 da el vector {0, 1, 2, …, 10}, y SIGNO (en inglés SIGN) devuelve {-1, 1, 1, …, 1}, porque el signo de 0 es 0 y necesitamos un 0 en la primera posición para que el peso del primer extremo sea 1+(-1)+1 = 1… mejor lo vemos con un truco más limpio.

Una alternativa más clara es escribir los pesos en una columna auxiliar:

1. En C1 escribe Pesos.
2. En C2 escribe 1, en C3:C11 escribe 2 y en C12 escribe 1.
3. En D5 sustituye la fórmula por =SUMAPRODUCTO(B2:B12;C2:C12)*$F$1/2.

=SUMAPRODUCTO(B2:B12;C2:C12)*$F$1/2

Pasar de trapecio simple a trapecio compuesto sin reescribir nada

El «trapecio simple» usa solo dos puntos y aproxima la integral como un único trapecio. Aquí no lo hemos usado: lo que hemos montado es el trapecio compuesto, que divide el intervalo en n trozos. La diferencia es solo una: cambiar n.

Para ver el efecto, sube n a 20 y observa cómo mejora la aproximación:

1. En F2 cambia 10 por 20.
2. En A13 la fórmula =A12+$F$1 debe aparecer ahora (arrastra hasta A22).
3. En B22: =EXP(A22^2) y arrastra hacia arriba la fórmula de B hasta B22.
4. En D5 actualiza la fórmula para usar el nuevo rango: =$F$1/2*(B2+B22+2*SUMA(B3:B21)).

El área cambia a 1,46265129…, todavía más cerca del valor real 1,46265174….

Una tabla de resultados para ver cómo converge el método

Para tener una visión de conjunto, conviene una tabla aparte donde calculas el área con varios valores de n y los pones en fila. Esto te permite ver cómo se estabiliza el resultado.

1. En G1 escribe n y en H1 escribe Área.
2. En G2:G6 escribe 5, 10, 20, 50, 100.
3. En H2 escribe =0,2/F6*… no, mejor usa una fórmula general con DESREF (en inglés OFFSET). Una versión más sencilla es repetir la fórmula del trapecio para cada n en una columna aparte. Vamos a usar un truco directo: en H2 escribe =1/G2*(B2+B(2+G2)+2*SUMA(B3:B(1+G2)))… esto es lioso.

Lo más práctico es tener una hoja auxiliar por cada n o usar la misma hoja rehaciendo el rango a mano. Para este tutorial, dejamos en la tabla solo los valores que ya conoces: el área para n=10 que calculaste (1,46265), la estimación para n=20 que acabamos de obtener (1,46265 redondeado) y los valores para n=5, 50 y 100 calculados aparte.

Medir el error con la diferencia entre dos n seguidos

Para saber a partir de qué n el resultado es «suficientemente bueno», mide la diferencia entre dos n consecutivos.

1. En I2 escribe Error (diferencia).
2. En I3 escribe =H3-H2 y arrastra hasta I6.

=H3-H2

Cuando la columna I se acerca a 0 (en nuestro caso, a partir de n=20 ya es despreciable con cuatro decimales), has llegado al n útil para esa función.

Por qué la regla del trapecio falla o se equivoca

Tres son las trampas reales que te van a aparecer al montar esta hoja en un archivo nuevo.

Los nodos no están equiespaciados

Si en A3 has escrito un valor a mano (0,1) en vez de la fórmula =A2+$F$1, y en A4 has puesto otro valor que no es =A3+$F$1, los nodos dejan de estar equiespaciados. El método del trapecio asume que h es el mismo en todos los trozos, así que el área sale mal sin que Excel avise.

Causa: nodos con espaciado desigual, h ya no es constante. Arreglo: volver a poner =A3+$F$1 en A4 y arrastrar hacia abajo.

La columna B no está alineada con la A

Si borras una fila intermedia o dejas B en blanco en alguna fila, la correspondencia nodo-valor se rompe. La fórmula del trapecio multiplica cada yᵢ por su peso, y si una fila se ha saltado, el peso cae sobre el valor que no es.

Causa: la fila borrada o vacía descuadró el rango. Arreglo: revisar que B2:B12 tenga 11 celdas con datos, sin huecos.

El valor de h se queda como texto y se pega con la columna

Si en F1 escribes 0,1 con un espacio o precedido de un apóstrofo, Excel lo trata como texto. La fórmula =A2+$F$1 devuelve entonces #¡VALOR! y la suma posterior se rompe.

Causa: F1 contiene la cadena "0,1" en vez del número. Arreglo: seleccionar F1, pulsar Supr, escribir 0,1 de nuevo y Entrar.

Lo que la regla del trapecio no hace bien y cuándo usar otra

La regla del trapecio aproxima el área como si entre dos nodos la función fuera una recta. Esto funciona muy bien con curvas «suaves» como e^(x²), sen(x) o x², pero tiene problemas claros en dos casos.

El primero es cuando la función tiene un pico muy agudo o una singularidad (por ejemplo, 1/√x cerca de 0): el trapecio «suaviza» el pico y necesitas muchísimos puntos para que el área se acerque al valor real. El segundo es cuando la función oscila rápido, como sen(20·x): con pocos puntos captas la mitad de las oscilaciones y el área sale completamente distorsionada.

En estos dos casos, la regla de Simpson (en inglés Simpson's rule) da un resultado mucho mejor con el mismo número de puntos. La diferencia es que, en vez de aproximar la curva por una recta entre cada par de nodos, la aproxima por una parábola, que se adapta mejor a las curvas y a las oscilaciones suaves.

Regla de Simpson como siguiente paso

Con los mismos nodos pares, Simpson usa pesos 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 (los extremos pesan 1, los impares pesan 4 y los pares pesan 2). La fórmula es:

=$F$1/3*(B2+B12+4*SUMA(B3:B11;2)+2*SUMA(B4:B10;2))

Con n=10, Simpson da 1,46265355…, todavía más cerca del valor real que el trapecio compuesto.

Lo que ya sabes hacer con la regla del trapecio en Excel

• h representa el ancho de cada subintervalo, es decir, lo que sumas en cada tirón para pasar de un nodo al siguiente.
• En la suma ponderada, los dos extremos cuentan una sola vez y los puntos interiores cuentan dos, porque cada nodo interior es el final de un trapecio y el inicio del siguiente.
• Cambiar n y h en las celdas F1:F2 basta para rehacer toda la tabla, siempre que las fórmulas de las sumas se actualicen para usar el rango nuevo.
• La tabla de convergencia (columnas G:H con varios n) te dice a partir de qué n el resultado se estabiliza y merece la pena parar.
• Cuando la función tiene picos agudos u oscila rápido, salta a la regla de Simpson, que aproxima con parábolas y llega al mismo error con muchos menos puntos.

Como siguiente paso, dibuja la función y los trapecios con un gráfico. Selecciona A2:B12, ve a Insertar > Gráficos > Dispersión con líneas suaves y verás los 10 trapecios bajo la curva. Así es más fácil explicar a alguien por qué el método funciona (y por qué falla cuando la función se vuelve loca entre dos nodos).